Expresiones matematicas: Proposiciones

Una proposicién logica simple describe una propiedad de un objeto concreto y se le puede atribuir sin ambigtiedad el valor de verdadero o falso. Como ya hemos dicho, para hacer referencia sintdctica a una proposicién simple, se suele emplear una letra miniscula, por ejemplo p, ó El Sol es una estrella, La hipotenusa es el mayor de los tres lados de un tridngulo rectdngulo y 2 es un nimero primo sou proposiciones simples que tienen el valor verdad. Las expresiones, 9 es el cubo de 3, La funcidn derivada de la funcién f(x) = x es la funcién nula y La Luna es una planeta son proposiciones simples que son falsas. Al disponer de una coleccién de expresiones sencillas o simples como las anteriores, sc pueden construir expresiones compuestas, combinando esas expresiones simples me- diante palabras de conexién propias del lenguaje, como pueden ser las conjunciones y otras mas. Por ejemplo, al combinar la conjuncién copulativa y con las expresiones Doce es divisible por dos, Doce es divisible por tres, se puede construir la expresién compuesta Doce es divisible por dos y por tres. De esta forma, se incrementa la co- lecci6n de expresiones disponibles, que a su vez pueden volverse a combinar. Con proposiciones simples se construyen proposiciones compuestas. Por ejemplo, la expresién condicional Si tueve ef suelo se moja, es una proposicién compuesta por las proposiciones simples Llueve y El suelo se moja. Tanto si las proposiciones son simples como si son compuestas, nos referiremos a ellas empleando tnicamente la palabra “proposicién’” . Ejemplo 1.2 La expresién Fl nimero natural elegido es un miimero par, que describe la propiedad “ser mimero par”, no es una proposicién: el ntimero alu- dido es desconocido, y puede ser cualquier nimero de toda una familia de ntimeros. Esto impide atribuir claramerte el valor semantico, puesto que hay ntimeros para los cuales la expresién es verdadera y nttmeros para los que es falsa. Este tipo de expresiones son denominadas predicades légicos y son introducicos en el capitulo 2. La expresién El naimero natural elegido en primer lugar es menor que el ntimero natural elegido en segundo lugar, que describe la propiedad “ser menor que”, tampoco es una ptoposicién. De nuevo el motivo de no considerarla proposiciédn es que los niimeros aludides son desconocidos y pueden ser cualquier numero de toda una G Capitulo 1 | Nociones de légica familia de néimeros. No se puede atribuir claramente el valor semantico, puesto que hay nimeros para los cuales la expresidn es verdadera y nimeros para los que os falsa. Este tipo de expresioncs son derominadas relaciones ldgicas, 0 predicados de dos argumentos, y también serdn introducidas en et capitulo 2. Marco Iégico: Cualquier estudiante que intenta aprender un nuevo idicria es cons- ciente de que debe aprender una coleccién grande de palabras, unas reglas sintdcticas para combinar esas palabras en frases y los significados tanto de las palabras como de las frases. De forma andloga, a como se intenta aprender un lenguaje, se debe aprender légica, es decir, se deben conocer los “palabras empleadas”, las reglas de combinarlas, y les significados de éstas y de las posibles combinaciones. « Légica proposicionai Las “palabras basicas”son las proposiciones y los valores de las proposiciones son sdlo dos: verdadero o falso. Todas las reglas sintacticas para combiriar pro- posiciones utilizan la negacién de una proposicién, la conjuncién y disyuncién de dos proposiciones, el condicional de una proposicién respecto a otra y el bicondicional de dos proposiciones. Ai escribir una proposicién, se escribe una letra miniscula, o una combinacién de letras mintisculas conectadas con determinados simbolos que se denominan conec- tores légicos que corresponden a la forma de combinar proposiciones.